Conectivas Lógicas : Proposición Condicional

Conectivas Lógicas : Proposición Condicional (4/9)

Si se conectan dos enunciados colocando la palabra “si” antes de la condición – llamada antecedente - y después de la palabra “entonces” , el consecuente; la proposición compuesta resultante se llama un condicional, proposición hipotética o implicación.

Por ejemplo:

Sean las funciones proposicionales:

1) p(x): x es un número entero, y
2) q(x): x es un número racional.

Entonces, la proposición condicional p(x) q(x): si x es un número entero, entonces x es un número racional puede escribirse:

“si x es entero, es racional”.
El enunciado condicional afirma que su antecedente implica su consecuente.

No afirma que su antecedente sea verdadero, sino sólamente que si el antecedente es verdadero, entonces también su consecuente es verdadero.

La implicación no dice que el consecuente sea verdadero, sino que su consecuente es verdadero si el antecedente lo es.

La implicación material no requiere de una conexión real – sea lógica, definitoría o causal - entre el antecedente y el consecuente, Todo lo que se afirma es que no se da el caso de que el antecedente sea verdadero cuando el consecuente es falso.

Tabla de Verdad de la implicación.

En la implicación el primer término se denomina antecedente o hipótesis y al segundo consecuente o tesis. Todos los teoremas tienen forma de implicación. La implicación es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La implicación no tiene denominación especial, como los casos anteriores, (NOT, AND y OR) pero puede expresarse en función de estos, como se verá más adelante.

Dec	p	q	p q
0	0	0	1
1	0	1	1
2	1	0	0
3	1	1	1

Resulta natural que de un antecedente verdadero se concluya o derive un consecuente verdadero y que no se pueda deducir un consecuente verdadero de un antecedente falso, pero resultan implicaciones verdaderas, partiendo de antecedentes falsos como se puede ver en los ejemplos siguientes:

Ejemplo 1:

si p es : -1 = 1 antecedente falso, y
si q es : (-1)² = ( 1 )² consecuente verdadero,
entonces:
p

q : si -1 = 1

(-1)² = (1)², es implicación verdadera.

Ejemplo 2:

si p : -1 = 1 antecedente falso y
si q : -3 = 3 consecuente falso,
entonces:
p

q : si -1 = 1

-3 = 3, es implicación verdadera.

Un enunciado condicional “si p, entonces q” es falso, en caso de que la conjunción p

~q sea verdadera, es decir, en el caso en que su antecedente sea verdadero y su consecuente falso. Para que el condicional sea verdadero, debe ser falsa la conjunción anterior, esto es, debe ser verdadera su negación ~(p

~q). Por lo tanto, se puede considerar que esta última expresión tiene el mismo significado de la implicación como se puede ver en la tabla de verdad siguiente para la proposición:

~ (p

~q)

Dec	p	q	~q	p q	p ~q	~( )
0	0	0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	0	1	1
2	1	0	1	0	1	0	1
3	1	1	0	1	0	1	1

El hecho de que esta equivalencia resulte siempre verdadera la hace tautológica y puede, para efectos de la operación del álgebra de proposiciones, sustituir la implicación por su expresión equivalente.

Gracias a esta expresión la implicación puede ser presentada con compuertas así: