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Breve Historia de la
Lógica
Juan A.Alvarez Vázquez AbstractSe presenta una breve descripción histórica de la lógica y su posible desarrollo futuro. Esta descripción es un resumen de varias referencias electrónicas, donde resalta la información presentada por Henri Poncaire. Esta descripción histórica se presenta ordenada en las cinco revoluciones señaladas por Poncaire, y dentro de cada una se revisan a sus principales representantes. 1 IntroducciónLa evolución de la lógica está intrínsecamente ligada a la evolución intelectual del ser humano, ya que como ciencia del razonamiento, su historia representa la historia misma del hombre. La lógica surge desde el primer momento en que el hombre, al enfrentar a la naturaleza, infiere, deduce y razona, con el ánimo de entenderla y aprovecharla para su supervivencia [1]. Existen varios enfoques acerca de cómo interpretar la evolución de la lógica. Poncaire la divide en cinco etapas o revoluciones, que se presentan oscilando entre dos grandes tópicos: del rigor y la formalidad, a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución matemática, revolución científica, revolución formal, revolución digital y la prevista siguiente revolución lógica [2]. 2 Lógica MatemáticaEl objetivo de la lógica matemática es cuestionar con el mayor rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas, constituyendo la lógica por ello una verdadera metamatemática. Una teoría matemática considera objetos definidos (enteros, por ejemplo) y define leyes que relacionan a estos objetos entre sí (los axiomas de la teoría). De los axiomas se deducen nuevas proposiciones (los teoremas), y a veces, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales (formalización), piedra angular de la lógica matemática, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática [3]. 3 Las matemáticas y la lógicaDurante el periodo de 600 AC hasta 300 AC, en Grecia se desarrollaron los principios formales de las matemáticas. A este periodo se le conoce como periodo clásico, donde sus principales representantes son Platón, Aristóteles y Euclides. Platón introduce sus ideas o abstracciones; Aristóteles presenta el razonamiento deductivo y sistematizado y Euclides es el personaje que mayor influencia tuvo en las matemáticos, al establecer el método axiomático. En ''Elementos'', Euclides organiza pruebas deductivas dentro de una presentación sistemática, rigurosa y bien organizada de conocimiento matemático [4]. 3.1 PlatónPlatón (427-347 AC) intenta instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos, y crea la Academia en Atenas, que no era solouna institución filosófica, sino servía de formación política a los jóvenes de la aristocracia. Según muchos críticos, Platón edifica su teoría del conocimiento para justificar el poder preeminente del filósofo y parte de los pensamientos socráticos: la búsqueda de conceptos y definiciones estables de las ideas abstractas (justicia, bondad, valor, etc.). Sostuvo la existencia de dos mundos distintos (el de las ideas y el de las cosas). Según Platon, lo concreto se entiende sólo en función de lo abstracto, resultando que el mundo sensible debe su existencia al mundo de las ideas. Platón escogió el diálogo como su forma literaria para verter su pensamiento; como personaje central de sus ''Diálogos'' sitúa a Sócrates, de quien recibió una notable influencia [5]. 3.2 AristótelesLos tratados de lógica de Aristóteles (384-332 a.C.), conocidos como Organón, contienen el primer tratamiento sistemático de las leyes de pensamiento en relación con la adquisición de conocimiento. Estos representan el primer intento de establecer a la lógica como ciencia. Aristóteles da una clasificación de todos los conceptos o nociones (sustancias, cantidad, relación, acción, pasión, diferencia, propiedad y accidente) y trata las reglas del razonamiento silogístico. Aristóteles no hace de la lógica una disciplina metáfisica, pero si establece una correspondencia entre el pensamiento lógico y la estructura ontológica. El silogismo fue adoptado por los escolásticos (representantes del sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media) quienes la enriquecieron con númerosos y detallados estudios y se esforzaron en formalizarlo. La escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que acarreó su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna (Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, Lambert) procuraron simplificarla al máximo, y su tratamiento matemático se completó hasta principios del siglo XX (Boole, De Morgan, Frege, Russell). Desde entonces el silogismo se incluye en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases, y ocupa en la ciencia lógica un papel mucho menor que el desempeñado en otros tiempos [5]. 3.3 EuclidesEste matemático alejandrino publicó numerosas obras entre las que destacan los célebres ''Elementos'', sin duda el texto matemático más conocido a lo largo de la historia. Los ''Elementos'' están divididos en trece libros y constituyen una recopilación de gran parte de las matemáticas conocidas en tiempos de Euclides; su gran valor reside en el uso riguroso del método deductivo, distinguiendo entre principios (definiciones, axiomas y postulados) y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. Los principios de naturaleza puramente geométrica en ''Elementos'' se conocen como postulados; tres de ellos aseguran la existencia y unicidad de la recta determinada por dos puntos; el cuarto, la existencia de una circunferencia de centro y radio dados; y el quinto da condiciones que aseguran que dos rectas se cortan en un punto. A lo largo de la historia se ha mantenido la sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de encontrar tal demostración condujo, en el siglo XIX, a la construcción de geometrías no euclidianas de las que se deduce la imposibilidad de demostrar el quinto postulado [5]. 4 La ciencia matemáticaDespués de declinar la escuela clásica de los griegos, se presenta un periodo en el cual la autoridad religiosa embruteció a la creatividad intelectual. El renacimiento inicia una nueva era en la cual se permite la revitalización de la ciencia y las matemáticas. Los representantes más destacados de esta etapa son Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca de los 1500 a los 1800 [6]. 4.1 René DescartesEl punto de partida de este filósofo y matemático francés (1596-1650) es la duda universal, que consiste de prescindir de cualquier conocimiento previo que no queda confirmado por la evidencia con que ha de manifestarse el espíritu. Descartes dudó de toda enseñanza recibida, de todo conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto (pienso, luego existo). Como científico, se debe a Descartes, entre otras aportaciones de considerable importancia, la creación de la geometría analítica [5]. Este desarrollo es importante para la ciencia porque hace a la geometría cuantitativa y permite el uso de métodos algebraicos. La geometría debe ser cuantitativa para ser usada en la ciencia e ingeniería, y los métodos algebraicos permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos (más rigurosos) requeridos por el enfoque axiomático de la geometría clásica. 4.2 Isacc NewtonA Isacc Newton (1642-1727) se le debe el descubrimiento de la gravitación universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la mecánica clásica [5]. 4.3 Gottfried W. LeibnizFilósofo y matemático alemán (1646-1716); fundó la Academia de Ciencias de Berlín (1700). En ''Discurso sobre el arte combinatorio'' enuncia la necesidad de un lenguaje riguroso, exacto y universal (un lenguaje puramente formal). Como matemático, su principal trabajo (publicado en 1684) es la memoria intitulada ''Nuevo método para la determinación de los máximos y los mínimos'', en el que expone las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal, anticipándose unos años a Newton. La notación que empleó es particularmente cómoda y se sigue utilizando con algunas modificaciones; introdujo el símbolo de integral y de diferencial de una variable. En el área de lógica matemática publicó ''Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum'' y ''Fundamenta calculi logici'' [5]. 5 Formalización de las MatemáticasEsta etapa se caracteriza por el resurgimiento de la formalización rigurosa de las matemáticas, que en la etapa clásica griega fué representativa. El uso de los infenitesimales fue una de las prácticas mas notoria en la época renacentista, para la cual no se ofrecia una justiticación. La rigorización del análisis llego con la eliminación de los infinitesimales y la presencia de los límites como argumento[7]. En este periodo se crea la lógica simbólica, la escuela formal, la lógica booleana, el cálculo porposicional, la inducción matemática, el cálculo de secuentes. Personajes muy notables de esta etapa son: Peano, Hilbert, Frege, Boole, de Morgan, Gentzen, Russell, Gödel y Whitehead. A Rusell y Gödel se deben los planteamientos de las limitantes de la lógica y de la ciencia en general. 5.1 Guiseppe PeanoLa enunciación de los principios del italiano Guiseppe Peano (1858-1932) acerca de lógica matemática y su aplicación práctica quedaron contenidos en su obra ''Formulaire de mathematiques''. Los axiomas de Peano permiten definir el conjunto de los números naturales [8]. 5.2 David HilbertEl matemático alemán David Hilbert (1862-1943) fue un enconado defensor de la axiomática como enfoque principal de los problemas científicos, esto es, de partir de un conjunto cerrado e inamovible de premisas para construir la base fundamental de cualquier estudio. A partir de las fuentes griegas de Euclides, publicó en 1899 su obra ''Fundamentos de Geometría'', en la que mediante un exhaustivo análisis y perfeccionamiento de las ideas euclidianas, formuló sus principios de axiomatización. Según sus teorias, es necesario establecer un conjunto de postulados básicos antes de plantear de modo más detallado cualquier tipo de problema físico o matemático. Estos principios deben ser simbólicos, sin recurrir a dibujos y representaciones gráficas, y es necesario preveer la mayoría de las posibilidades con antelación. Su concepción reconocía tres sistemas de entes geométricos (puntos, rectas y planos) a los que podían aplicarse axiomas distribuidos en cinco diferentes categorías: pertenencia, orden, igualdad o congruencia, paralelismo y continuidad [8]. 5.3 Friedrich G. FregeJunto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G. Frege (1848-1925) inicio la corriente de pensamiento que, partiendo del análisis de los fundamentos de la matemática, llevó a cabo la mas profunda renovacion y desarrollo de la lógica clásica. Fue el primero en introducir los cuantificadores u operadores y en elaborar una teoría de la cuantificación [9]. 5.4 George BooleEl lógico y matemático George Boole (1815-1864) aplicó el cálculo matemático a la lógica, fundando el álgebra de la lógica, que en cierto modo realiza el sueño de Leibniz de una ''characteristica universalis'' o cálculo del raciocinio. El empleo de símbolos y reglas operatorias adecuados permite representar conceptos, ideas y razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio un método general para formalizar la inferencia deductiva, representando complicados raciocinios mediante sencillos sistemas de ecuaciones. Así, la conclusión de un silogismo se encuentra eliminando el término medio de un sistema de tres ecuaciones, conforme a las reglas del álgebra común, La formalización de la lógica, iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a aclarar la estructura de los objetos lógicos, en contraposición a los materiales y aun en contraposición a los matemáticos, pese a las analogías formales entre la matemática y la lógica, que Boole señaló. Su obra principal es ''Investigación de las leyes del pensamiento'' en las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad (1854), que aun hoy se lee con deleite [8]. 5.5 Augustus De MorganLa mayor contribución de Augustus De Morgan (1806-1871) en el estudio de la lógica incluye la formulación de las leyes de Morgan y su trabajo fundamenta la teoría del desarrollo de las relaciones y la matemática simbólica moderna o lógica matemática. De Morgan hizo su más grande contribución como reformador de la lógica [9]. 5.6 Georg F. CantorAl matemático alemán Georg F. Cantor (1845-1918) se debe la idea del ''infinito coninuo'', es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoria de los números irracionales y de los conjuntos [5]. 5.7 GentzenEl alemán Gentzen (1909-1945) formuló la prueba de la consistencia de un sistema de aritmética clásica, en el cual el método no elemental es una extensión de inducción matemática a partir de una secuencia de números naturales a un cierto segmento de números ordinales transfinitos [9]. 5.8 Bertrand RusellBertrand Rusell (1872-1970) es uno de uno de los creadores de la logística y uno de los pensadores de mayor influencia en la filosofía científica contemporánea. Lo fundamental de su obra está en sus aportes a la lógica. Decididamente antiaristotélico, llegó a afirmar que quien quería iniciarse en la lógica debía comenzar por no estudiar la lógica de Aristóteles. Por influencia de los trabajos de Cantor descubrió en la teoría de conjuntos varias paradojas que resolvió mediante la teoría de los tipos; años más tarde establecería una teoría similar, la de la jerarquía de los lenguajes, para eliminar las paradojas semánticas. Siguiendo los trabajos de Cantor, Peano y Frege, Rusell se propuso fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de conceptos lógicos. Este empeño culminó con la publicación (1910-1913) de los monumentales ''Principia Mathematica'' (en colaboración con Whitehead), obra que, además, sentaba las bases de la moderna lógica formal. 5.9 Kurt GödelKurt Gödel (1906-1978) tuvo múltiples contribuciones a la lógica matemática, destacando la demostración de la consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y la prueba de incompletez semántica. En ''Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de matemática formal'' establece que es imposible construir un sistema de cálculo lógico suficientemente rico en el que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema. Con este teorema se demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización completa de la matemática propugnado por Hilbert y otros, ya que, según él, no puede existir una sistematización coherente de la misma tal que todo enunciado matemático verdadero admita demostración. Siempre habrá enunciados que no son demostrables ni refutables. Para probar esta aserción se sirvió de la matematización de la sintaxis lógica. 6 La Revolución DigitalEsta revolución inicio con la invención de la computadora digital y el acceso universal a redes de alta velocidad. Turing une a la lógica y la computación antes que cualquier computadora fuera inventada. Weiner funda la ciencia de la cibernética. En la escuela moderna de la computación están presentes lógicos que han permitido avances importantes: Hoare presenta un sistema axiomático de los sistemas de programación y Dijkstra un sistema de verificación y deducción de programas a partir de especificaciones. 6.1 Alan TuringMatemático y lógico quien fue pionero en la teoría de la computación y contribuyó en importantes análisis lógicos de los procesos computacionales. Las especificaciones para la computadora abstracta que él ideó (llamada la Máquina de Turing) resultó ser una de sus mas importantes contribuciones a la teoría de la computación. Turing además probó que es posible construir una máquina universal que con una programación adecuada podrá hacer el trabajo de cualquier máquina diseñada para resolver problemas específicos [9].Alan Turing inventó la máquina que lleva su nombre (Máquina de Turing) en un intento por determinar si toda la matemática podia ser reducida a algún tipo simple de computación. Su objetivo fué desarrollar la máquina más simple posible capaz de realizar computación. La máquina propuesta por Turing es un dispositivo relativamente simple, pero capaz de realizar cualquier operación matemática. Turing abrigó la ilusión de que su máquina tenía una capacidad tal que, potencialmente, podría ser capaz de realizar cualquier cosa realizable por el cerebro humano, incluyendo la capacidad de poseer conciencia de si mismo. Pese a ser considerados formalmente equivalentes, distintos modelos de computación presentan estructuras y comportamientos internos diferentes [10]. 6.2 Norbert WeinerEl científico norteaméricano Norbert Weiner (1894-1964) en 1947 publica su libro más famoso: ''Cibernética, o control y comunicación en el animal y la máquina''; en donde se utiliza por primera vez la palabra Cibernética. Existen muchas definiciones de Cibernética (del griego kybernetes, piloto), Norbert Weiner dio vida a la palabra mediante una definición muy simple: ''Ciencia que estudia la traducción de los procesos biológicos a procesos de máquina''. En un inicio, la Cibernética estaba muy ligada a ciencias como neurología, biología, robótica e inteligencia artificial. [11]. 6.3 Alfred TarskiMatemático y lógico polaco nacido en 1902, quien realizo importantes estudios de álgebra en general, teoría de mediciones, lógica matemática, teoría de conjuntos, y metamatemáticas. 7 La siguiente revolución lógicaLa siguiente revolución lógica será la asimilación práctica de las matemáticas y la computación dentro de la lógica. Se hará enfásisi en que las computadoras exploten la información inteligentemente, pasando de las bases de datos a las bases de conocimientos [12]. 8 ConclusiónLa lógica muestra un devenir histórico muy interesante, naciendo de la fuerte formalización de las matemáticas de los griegos, que fué impactada, como muchas ciencias, por el pensamiento de la Edad Media, donde la religión se anteponia a todo; pero, el impetú de la mente de los filósofos renacentistas ayudó a retomar su desarrollo. No cabe duda que la lógica tiene impactó fundamental, como ciencia de las ciencias, en el pensamiento contemporaneo, y que el nacimiento de la tecnológia computacional deba mucho al desarrollo del formalismo lógico de principios de siglo. 9 Referencias
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